切片扫描法 将二维平面降解为一维线段
转化为累次积分的公式：
$$ \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) dy $$
外层积分变量 (常数域)
x ∈ [0, 1]
内层积分变量 (函数域)
y ∈ [x², √x]
富比尼定理 (Fubini's Theorem) 告诉我们，计算二重积分就如同切土豆：先切出薄薄的一片（内层定积分），计算这一片的面积，然后再把所有切片累加起来（外层定积分）。
区域透视 $D = \{ (x,y) \mid 0 \le x \le 1, x^2 \le y \le \sqrt{x} \}$
红色的线代表我们切下的一块“薄片”。注意观察薄片两端是如何被边界曲线锁死的。
交换积分次序 视角的翻转
原积分 (X 型区域)：
$$ I = \int_0^1 dx \int_x^1 f(x,y) dy $$
当被积函数很难甚至无法直接积分（例如 $\int e^{y^2} dy$）时，我们唯一的出路就是改变切割区域的方向。这要求我们根据原有的积分限，在图纸上还原出积分区域
$D$，然后再换一个维度重新“画线穿区”，写出全新的积分限。
动态重组图 积分区域 $D$ 的两种拆解方式
当前状态：从左向右做垂直切片扫描。
累次积分核心法则
从多维空间降解为一维计算的核心逻辑链
富比尼定理 (Fubini's Theorem)
降维基石$$ \iint_D f(x,y) dA = \int \left( \int f(x,y) dy \right) dx $$
将一个难以下手的二维双重极限，转化为做两次熟悉的一维定积分。外层积分限必须是常数，内层可以是函数。
X 型区域特征
垂直切片$$ a \le x \le b, \quad y_1(x) \le y \le y_2(x) $$
左右被两条垂直线夹死，上下被两条函数曲线封顶。求解时：先积 y，后积 x。内层积分得到一个关于 x 的函数。
Y 型区域特征
水平切片$$ c \le y \le d, \quad x_1(y) \le x \le x_2(y) $$
上下被两条水平线夹死，左右被两条函数曲线阻挡。求解时：先积 x，后积 y。内层积分得到一个关于 y 的函数。
确定积分限：画线穿区法
实战口诀$$ \text{内层画箭头穿区，外层找边界极值} $$
若先积 y，则画一条垂直向上的箭头穿过区域 D。箭头穿入的曲线就是下限，穿出的曲线就是上限。最后找到整个区域在 x 轴上的投影端点作为外层限。
交换积分次序
解题外挂$$ \int_a^b dx \int_{y_1}^{y_2} f dy \implies \int_c^d dy
\int_{x_1}^{x_2} f dx $$
当被积函数在一种次序下原函数不可求时，必须交换次序。严禁直接调换积分号！必须先根据原积分限画出 D 的图形，再用另一种方式重新判定积分限。
变量分离的特权
矩形区域$$ \iint_D f(x)g(y) dA = \left(\int_a^b f(x)dx\right)\left(\int_c^d
g(y)dy\right) $$
条件极其苛刻：积分区域 D 必须是矩形（四个边界全为常数），且被积函数必须能分解为纯 x 与纯 y 的乘积。此时二重积分直接变为两个一元积分的乘积。
极坐标下的累次积分
圆域杀手$$ \iint_D f dA = \int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta
\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, \mathbf{r} \, dr $$
当区域是圆形或被积函数含有 $x^2+y^2$ 时使用。切记必须在末尾补上雅可比行列式产生的面积微元放大因子 r。